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피보나치 수열과 시간

소요유 : 2010. 12. 6. 19:22


피보나치 수열에서 사람들은 이게 Golden Ratio와 같아지는데,
묘한 매력을 느끼며 흠뻑 취합니다.
물론 모두 다 그런 것은 아니겠지요,
수학적 감수성이 뛰어난 사람들에 한정된 이야기이지만 말입니다.

Fn = Fn-1 + Fn-2

f(0) = 0
f(1) = 1
f(2) = 1
f(3) = 2
f(4) = 3
f(5) = 5
f(6) = 8
f(7) = 13
f(8) = 21

r(0) = 0 / 1 = 0
r(1) = 1 / 1 = 1
r(2) = 2 / 1 = 2
r(3) = 3 / 2 = 1.5
r(4) = 5 / 3 = 1.666....
r(5) = 8 / 5 = 1.6
r(6) = 13 / 8 = 1.625
r(7) = 21 / 13 = 1.61538...

Golden Ratio는 실제 대략 1.6180339입니다.
피보나치 수열의 전항 대비 후항 비율을 자세히 관찰해보면,
0,1,3,5,7항은 Golden Ratio보다 작고,
2,4,6항은 크지요.
항이 커질수록 Golden Ratio에 수렴하는 것을 어렵지 않게 짐작할 수 있습니다.

그런데 저는 항차가 커지면서 수렴한다는 것보다 거꾸로 항차가 작은 부분에 주목합니다.
자, 피보나치 수열을 이렇게 생각해보는 것이지요.

태초에 태극이 있었다.
  f(0) = 0 是故易有太極

이어 음(陰)과 양(陽)이 나타나고,
  f(1) = 1, f(2) = 1 是生兩儀

음양 교응(交應)하여 만물이 화생합니다.
  f(3) = 2, f(4) = 3, ... 兩儀生四象 四象生八卦 ...
주역에선 방정(方正)하니 兩儀가 바로 四象으로 발전합니다.
허나 피보나치 수열에서는 이전 글의 예에서처럼 가임기(可姙期) 때문에,
갓 태어난 것은 한 번 쉬어 걸러가게 됩니다.
바로 여기에 비밀이 숨어 있지요.
(※ 참고 글 : ☞ 2008/02/17 - [소요유/묵은 글] - code - ⑤
                      ☞ 2008/02/12 - [소요유/묵은 글] - 주리(主理)와 주리(主利) - 남녀의 code)

주역은 배증(倍增)하며 이진법(二進法) 2n으로 그저 나아갈 뿐입니다.
선후 G(generation)간 생식 능력에 대한 weight 값이 같습니다.

가령 이렇게 됩니다.

f(無極) = 0
f(0) = 1
f(1) = 2
f(2) = 4
f(3) = 8
f(4) = 16
f(5) = 32
f(6) = 64
f(7) = 128
f(8) = 256

하지만 피보나치 수열에선 (우주or 만물)발전 태동기에선 r(3)의 예처럼,
F2 세대는 2:1의 반 박자 늦은 핸디캡을 갖게 됩니다.
이것을 조상에 대한 후손들의 겸양지덕으로 해석해도 좋습니다.
저는 이것을 generation gap이라 명명하고 싶군요.
흔히 쓰는 ‘세대차’라는 뜻이 아니라,
선후에 이런 가임(可姙) 능력상 간극이 존재한다는 뜻으로 새겨두고 싶습니다.

주역과는 차이가 나지요.
선후 G(generation)간 생식 능력에 대한 weight 값이 다릅니다.
이게 훨씬 자연스럽다고 하지 않을 수 없습니다.
주역의 통찰력이 사뭇 놀라운 구석이 많습니다만,
결정적으로는 사물을 단순화한 즉 兩儀生四象 바로 이 부분 때문에,
현실 적용에 있어 모델과 실제間 때로는 큰 차이가 노정(露呈)되는 게 아닌가 싶습니다.

2:1이란 比는 그저 단순한 수치적 비율을 의미하지 않습니다.
저는 가임기(可姙期) 때문에 이리 되었다고 생각합니다.
fraction을 피해 integer로 셈하자면 2:1 외에는 달리 표현할 방법이 없지요.
음양 1:1에서 자식대가 생겨나자 2:1로 변용되는 구조가 아연 흥미롭지 않습니까?
음양 1:1의 구조는 공간적이지만, 2:1에 이르르면 비로소 가임기란 시간이 개재됩니다.

존재는 시간에 복속되어 있지요.
피보나치 수열은 r(2)에서 r(3)로 넘어갈 때 이를 의식합니다.
하지만 주역에선 兩儀生四象이라는 표현으로 엿볼 수 있듯이,
아직도 시간을 의식하지 않고 있습니다.
그저 양적인 generation만 표출하고 있을 뿐입니다.
다만 이 문제를 64괘로 벌린 구조에 이르러,
괘들의 공간적 배치를 통해 우회적으로 처리하고 있습니다.
음, 양 딱 떨어지는 2진 구조를 채택하고 있는 이상 도리없지만,
놓치지 않고 그 한계내에서나마 이리 처리하고 있는 것만도,
대단한 능력이라고 하겠습니다.

offspring은 시간의 세례를 받아야 비로소 한 몫을 해낼 수 있습니다.
사과는 햇빛에 노출되어야 빨갛게 물듭니다.
들깨는 봄 물, 여름 태양, 가을 바람, 이 일련의 시간이란 강물을 건너야 익습니다.
빛은 시간과 공간을 이어주는 징검다리, 오작교인 것입니다.

사용자 삽입 이미지

로렌츠변환(Lorentz transformation)에서도 공간과 시간은 빛의 속도를 계수로 하여 연관되어 있습니다.
그런데 이게 거시 현실에선 거의 무시해도 좋을 정도이기 때문에 잊고들 살지요.
하지만, 백합, 아이리스, 국화, 해바라기들은,
속살에 안잠긴 빛살 무늬를 3, 8, 38, 55, 89 꽃잎으로 오롯이 기억해내고 있는 것입니다.
오호, 선재(善哉)! 선재(善哉)라!
생물학 연구하는 분들은 꽃잎의 비밀을 제가 제시한 '시간'을 키워드로 하여 접근하면,
필경 그럴 듯한 성과를 얻을 수 있을 것입니다.
문제는 공간이 아니라 시간입니다.
(※ 참고 글 : ☞ 2008/10/09 - [주식/remarks] - 주식투자법 - 가룡(駕龍))

피보나치 수열에선 극명하게 이를 고려하고 있습니다.
놀랍지 않습니까?
음양 1:1 symmetry에서 F2가 새로 나타나자 잠깐이지만 슬쩍 asymmetry로 변용됩니다.
바로 이 슬쩍 비껴난 자리로부터 美가, 나아가 眞, 善이 generation 되는 동력을 받게 됩니다.
이것을 인구(人口)는 입을 모아 Golden Ratio라고 부릅니다만,
실인즉 이게 내재된 ‘시간’의 결과라는 것을 저들은 알까요?

어쨌든,
이를 딛고 generation은 역사적, 생명사적, 우주적 전개를 하게 됩니다.
처음엔 2:1의 비율로 시작하지만,
총합적으로 보았을 때,
후대들이 F1, F2에 의지(or 起源)하는 비율이 달라지기 때문에
차차 Golden Ratio로 수렴하게 되지요.
그런 의미에서 Golden Ratio 1.6180339(※ 주역의 이진 구조 Ratio = 2.0)는,
실제 2:1 or 2:3 따위의 보다 근원적인 비율에 터하고 있는 것이지요.
하기사 더 거슬러 올라가면 무극 0에 도달합니다.

백합, 아이리스는 3, 코스모스는 8, 국화과 식물은 34, 55, 89 꽃잎을 갖고 있다고 하지요.
이게 자못 신기하지만 34, 55, 89 ... 등의 숫자에 그저 마냥 취할 노릇은 아닙니다.
저라면 1.6180339와 같은 Golden Ratio에 미신과 같은 주력(呪力)을 기대하기보다,
외려 2:1과 같은 단순하면서도 근원적인 숫자들에,
그저 담담하니 편안한 느낌을 갖게 되는군요.

(※ 이전 참고 글 : ☞ 2010/12/05 - [소요유] - 피보나치 수열과 토끼)

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  1. 2010.12.06 22:29 PERM. MOD/DEL REPLY

    비밀댓글입니다

  2. 새옹지주 2011.01.01 00:01 PERM. MOD/DEL REPLY

    오랜만에 들렀습니다. 천지인 삼수로 본다면 . 천과 지로 인해 인이 나오고 다시 지가 천으로 인이 다시 지로 자리매김하여 다시 인을 생한다는 식으로 볼 수 도 있겠습니다.

    고속퓨리에변환은 실제 투자에 적용하기 어렵겠다고 결론내렸습니다. 상업적인 프로그램도 노이즈 필터 이상의 기능을 기대하기는 힘들다고 생각합니다만. 피보나치 수열을 이용한 시간마디는 상당히 유용하다고 생각합니다.

    일반적인 용법은 최초마디를 1로 잡아 다음마디의 날짜를 계산하는 방법이 많이 쓰이지만 역으로 수렴하는 것을 계산하여 변곡을 예측하는 방법도 가능하지 않을까 합니다. 다중파형을 합성했을 경우에 나오는 맥놀이가 재밌는 모습을 보여주는데 일반적으로 추세확인에 사용하는 수렴과 확산의 모양이 다양한 형태로 나오는 것으로 보아 이러한 형태로 활용하는 것도 상당히 재미있을 듯합니다. 사실은 캐나다의 어느 은퇴한 수학자의 시장의 파국예측에 관한 글을 보고 힌트를 얻었습니다.

  3. 사용자 bongta 2011.01.01 18:27 신고 PERM. MOD/DEL REPLY

    반갑습니다.

    수렴/확산이란 친근한 말씀을 들으니 아연 반갑기 짝이 없습니다.
    혹여 제 글 http://bongta.com/202 를 읽으셨는지 모르겠습니다.
    직접적인 파동 분석은 아닙니다만 시스템내의 반응 양식 체계를 나름 정리한 적이 있었습니다.
    그리고 파국에 대하여는 제가 http://bongta.com/86 에서 잠깐 생각해본 적이 있습니다.
    말씀하신 것 하고는 약간 다른 것이지만 저도 한 때는 파국이론에 대하여 공부를 해본 적이 있어 흥이나 기억을 더듬게 되는군요.

    피보나치수열의 예로서 식물 꽃잎을 말씀드렸습니다만, 사실 이 예를 벗어난 경우도 적지 않지요. 그렇다면 이들은 불순하거나 예를 벗어난 것들인가요?
    피보나치 교도가 아니라면 이쪽에서 보자면 이단이자 패륜들이겠지요.
    하지만 2, 4, 8, 16, 32로 펼쳐 내놓는 존재들은 주역 교도들이 보자면,
    구궁(九宮) 궁리(窮理)를 제대로 아는 참된 역자(易者)들일 것입니다.

    저로서는 피보나치 교도든 주역 교도이든 그저 다 아름다울 뿐이군요.
    다만 서로 다투지만 않는다면 절로 평화스러운 정경으로서 쳐다보고자 하는 것입니다.
    그러하기에 봉은사에 난입한 땅밟기 폭도들을 보고 있자면,
    제가 설혹 기독교도라 하더라도 저들을 용서하지 못하겠습니다.
    남의 길을 비난하고 훼방하는 노릇을 아직도 간단없이 되풀이 하고 있는 것을 보면,
    이 땅에 전래된 이래 적지 아니 흐른 기독교 역사 120여년이 무참하다는 생각입니다.

    문득 高銀의 '나는 성불하지 않겠다'라는 책에 나온다는 다음 글귀가 생각났습니다.
    이 글은 제가 모 사이트를 떠날 때,
    어떤 분이 댓글로 저를 전송해주시던 글입니다.

    **
    그러나 이제 나는 다만 그런 풍경 속에 서 있고 싶을 뿐입니다. 그러나 풍경화 속의
    인물처럼 그 풍경에 깊은 조화를 이루지 않고, 그 풍경을 끝까지 거절하면서 들어 있는
    인물로 독립되고 싶은 것입니다.
    하나의 풍경 속에 서 있는 인간을 이제 나는 이상적으로 기대합니다.
    당신은 이런 나의 생각을 부르조아적인 생각이라고 조금쯤 비난할지도
    모릅니다. 그러나 나는 당신의 비난까지도 소화해 버릴 수 있습니다.
    세계의 어는 곳에서 그곳의 공동체에 속해지지 않고 저 혼자서 유일한
    저 자신만으로 만든 작은 고독체로소 풍경 속에 서 있는 인간, 그런 인간
    을 나는 생각합니다.

    하나의 풍경 속에 서 있는 인간이 왜 감동을 주는 것입니까? 그것은
    곧 내가 하려고 한 일을 이미 하고 있기 때문이 아닙니다. 모든 인간을
    그가 대표하고 있기 때문입니다. 아아, 풍경 속에서 망부석이 되어 버
    려도 좋은 것입니다.
    **

    그쪽 세계에 대하여는,
    오늘날의 저는 이처럼 풍경속의 한 사람으로서 관조를 하게 된 폭입니다.
    하지만 아직 끈을 완전히 놓은 것은 아니기에,
    뒤안길에서 인제는 돌아와 거울 앞에 서듯,
    차분한 누님의 모습으로 복귀할 날이 있을 것입니다.

    대신 농부로서 새로운 길을 걷고 있습니다.
    이게 제법 흥이 나는 일이더군요.
    그래서 겨울 한 철 열심히 공부를 하고 있습니다.
    올해 한 해 더 고생하면 기본적인 농원조성이 끝나기 때문에,
    명년부터는 조금 여유를 가질 수 있으리란 기대가 있습니다.

    감사합니다.

    bongta.

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